填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上)
(1) 曲线 的斜渐近线是____________________.
(2) 不定积分 =__________________________.
(3) 设曲线 ，则自原点到此曲线右边第一条垂直于x轴的
切线之间的弧长=______________.
(4) 设函数f (x)与g(x)可导，且有 = g(x)， = f (x)，f (0) = 0，g(x) ¹ 0，
则函数 =___________________.
(5) 设 ， ，则|B - E| =_______________.
(6) 设A为三阶实对称矩阵， 是Ax = 0的解， 是
(A + E) x = 0的解，则常数a =________________.
二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1) 下列极限存在的是
(A) . (B) .
(C) . (D) . [ ]
(2) 设函数f (x)在x = 0的某邻域内有三阶连续导数，且当x ® 0时，f (x) - f (-x)是x的
三阶无穷小，则
(A) x = 0是f (x)的驻点，但不是极值点. (B) x = 0是f (x)的驻点且是极小值点.
(C) x = 0是f (x)的驻点且是极大值点.
(D) 如果x = 0不是f (x)的极值点，则(0 , f (0))是曲线y = f (x)的拐点. [ ]
(3) 设函数f (x)有n阶导数，且有2n个极值点，则方程 至少有
(A) n - 1个实根. (B) n个实根.
(C) n + 1个实根. (D) n + 2个实根. [ ]
(4) 设f (x)为连续的偶函数，且 ，令 ，则
(A) . (B) .
(C) . (D) . [ ]
(5) 设f (x)在x = 0的某邻域内有连续的四阶导数，且当x ¹ 0时，f (x) ¹ 0，又
在x = 0处连续，则
(A) . (B) . (C) . (D) . [ ]
(6) 设A与B是n阶方阵，齐次线性方程组Ax = 0与Bx = 0有相同的基础解系 ，
则在下列方程组中以 为基础解系的是
(A) (A + B)x = 0. (B) ABx = 0.
(C) BAx = 0. (D) . [ ]
三、(本题满分9分)
设f (x)在[-p , p]上连续，且 ，求f (x).
四、(本题满分9分)
试确定常数a，b，c的值，使极限 存在，并求该极限值.
五、(本题满分10分)
设函数f (x)满足方程 ，且由曲线y = f (x)，直线x = 1与x轴
所围成的平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，求D的面积.
六、(本题满分11分)
位于上半平面向上凹的曲线y = y(x)在点(0 , 1)处的切线斜率为0，在点(2 , 2)处的切线
斜率为1. 已知曲线上任一点处的曲率半径与 及 的乘积成正比.
求该曲线方程.
七、(本题满分10分)
设y = f (x)是在[0 , +¥)上可导的正函数，且满足
，求f (x).
八、(本题满分9分)
证明：当0 < x < 1时， .
九、(本题满分12分)
设有一质量为M，长为l的均匀杆AB，一质量为m的质点C位于杆AB的中垂线上，
且与AB的距离为a.
(1) 求杆AB对质点C的引力.
(2) 当质点C在杆AB的中垂线上从C点移向无穷远处时，求克服引力所作的功.
十、(本题满分11分)
设函数f (x)在[0 , 1]上二阶可导，f (0) = f (1) = 0，且f (x)在[0 , 1]上的最小值为-1，
证明：至少存在x Î (0 , 1)，使 .
十一、(本题满分10分)
设 b为4维非零列向量，A = ( ). 已知方程组Ax = b的
通解是 ，其中k为任意实数.
(1) 问b能否由 线性表示？ (2) 求向量组 b的一个极大无关组.
十二、(本题满分11分)
已知矩阵A = 有重特征值(常数a < 0)，
(1) 求a的值； (2) 求可逆矩阵P，使 为对角矩阵.
