填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上)
(1) 极限 =_____________.
(2) 星形线 ， 在点( , )处的曲率半径为___________.
(3) 积分 =______________.
(4) 微分方程 的通解是__________________________.
(5) 设 ，A = ，则 =_______________.
(6) 设三阶实对称矩阵A有三个不同的特征值 ， 所对应的特征向量分别为
，则 所对应的特征向量 =________________.
二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1) 已知x = 0是函数是 的可去间断点，则常数a , b的取值范围是
(A) a = 1，b为任意实数. (B) a ¹ 1，b为任意实数.
(C) b = -1，a为任意实数. (D) b ¹ -1，a为任意实数. [ ]
(2) 设函数f (x)在x = 0处可导，则函数f (|x|)在x = 0处可导的充要条件是
(A) f (0) = 0. (B) = 0.
(C) f (0) = 0且 = 0. (D) 与f (0)及 的取值无关. [ ]
(3) 设函数f (x)是在(-¥ , +¥)内连续的单调增加的奇函数， .
则F(x)是
(A) 单调增加 的非奇非偶函数. (B) 单调减少的非奇非偶函数.
(C) 单调增加 的奇函数. (D) 单调减少 的奇函数. [ ]
(4) 设函数f (x)与g(x)在[a , b]上连续且都大于零，则在区间[a , b]上由曲线y = f (x)，y = g(x)
所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为
(A) . (B) .
(C) . (D) . [ ]
(5) 对于广义积分 ，下列结论正确的是
(A) 当p > 1时，收敛. (B) 当p < 1时，收敛.
(C) p取任意实数都收敛. (D) p取任意实数都发散. [ ]
(6) 设n阶方阵 ， ， ，
记向量组I： ，II： ，III： . 如果向量组III
线性相关，则
(A) 向量组I线性相关. (B) 向量组II线性相关.
(C) 向量组I与II都线性相关. (D) 向量组I与II至少有一个线性相关. [ ]
三、(本题满分8分)
求 .
四、(本题满分9分)
设f (x)有连续导数，且 ，当f (0)取何值时，f (0)是f (x)的极值？
并说明它是极大值还是极小值.
五、(本题满分10分)
设f (x)在(-¥ , + ¥)上有定义， ，且对" x , y Î (-¥ , + ¥)，
有f (x + y) = f (x) + a f (y)，求常数a及f (x).
六、(本题满分11分)
设f (x)在[0 , 1]上可微，且f (0) = 0， .
证明： .
七、(本题满分11分)
有一在原点处与x轴相切并在第一象限的光滑曲线，P(x , y)为曲线上的任一点. 设曲线
在原点与P点之间的弧长为 ，曲线在P点处的切线在P点与切线跟y轴的交点之间的
长度为 ，已知 ，求该曲线方程.
八、(本题满分11分)
已知当x > 0时，方程 只有一个实根，求常数a的取值范围.
九、(本题满分9分)
设一底半径为r，高为h的圆锥形容器被隔成左右对称不相连通的两部分，右半部分
盛满水. 若把右半部分的水抽到左半部分，使容器左半部分的水的体积是右半部分的七倍，
求抽掉右边那部分水所需作的功.
十、(本题满分11分)
设f (x)在[0 , 1]上可导，且f (1) = 0， ，
证明：至少存在x Î (0 , 1)，使 .
十一、(本题满分10分)
讨论并求方程组的 解，其中a , b为常数.
十二、(本题满分12分)
已知2维非零向量x不是2阶方阵A的特征向量.
(1) 证明：x，Ax线性无关.
(2) 若 ，求A的特征值并讨论A可否相似对角化.
