一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）设 ，则 =                 .

(2) 微分方程 满足 的特解为              .

(3) 设L为取正向的圆周 ，则曲线积分

                               .

(4) 已知A,B为三阶相似矩阵， 为A的两个特征值，行列式 ，则行列式                        .

(5) 设随机变量X与Y相互独立，且均服从正态分布N(0,1)，则概率                       .

(6) 设总体 为取自总体的一个样本, 为样本均值， 要使 成立，则样本容量n至少应取多大                   .

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

   （1）以下命题正确的是

(A)       .   (B) .

(C)   .  (D)  .          [     ]

(2) 设区域D由y=x，x=1,y=-1所围成，则

(A) .        (B) .

(C) .    (D) .    [      ]

(3) 设f(x)、g(x)在点x=0的某邻域内连续，且f(x)具有连续一阶导数，满足 ， ，则

(A)  x=0为f(x)的极小值点.    

(B)  x=0为f(x)的极大值点.

(C)  (0, f(0))为曲线y=f(x)的拐点.

(D)  x=0不是f(x)的极值点，(0, f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点.           [      ]

(4) 已知三阶矩阵A的特征值为0， ，则下列结论中不正确的是

(A) 矩阵A是不可逆的.             （B）矩阵A的主对角元素之和为0.

(C) 1和-1所对应的特征向量是正交的.  (C) Ax=0的基础解系由一个向量组成. [   ]

(5) 设A为四阶实对称矩阵，满足 ，且其正、负惯性指数均为1，则

 (A)  行列式 .           (B)  2E+A为正定矩阵.

 (C)  秩r(E-A)=2.                 (D)  Ax=0解空间的维数为1.         [      ]

(6) 样本 取自总体X~N(0,1)， 及S分别表示样本均值和均方差，则

  (A) .                (B)

  (C)             (D)                 [      ]

三、（本题满分8分）

   设 都具有连续的一、二阶偏导数， ,试求

四、（本题满分10分）

   试证：对于在（1，2）内任一点x处均有

五、（本题满分12分）

   设f(x,y)在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，证明

其中D为圆环域：

六、（本题满分12分）

   设u(x,y),v(x,y)在全平面内有连续的偏导数，且满足 ，记C为包围原点的正向简单闭曲线，计算

七、（本题满分12分）

   设f(u)连续， ，而 ，求

及

八、（本题满分12分）

   设稳定流动的不可压缩流体（假设密度为1）的速度场由

+ 给出，锥面 是速度场中一片有向曲面，求在单位时间内流向曲面 外侧的流体的质量.

九、（本题满分9分）

   设 为四维列向量，A= , 已知 的通解为

. 其中 为对应齐次方程组的基础解系, 为任意常数. 令B= , 试求B 的通解.

十、（本题满分9分）

设A,B为n阶矩阵,秩r(A)+r(B)<n.

(1)    证明 为A,B相同的特征值;

(2)    Ax=0与Bx=0的基础解系组成的向量组线性相关;

(3)    A,B具有公共的特征向量.

十一 （本题满分9分）

在线段[0，1]上任取n个点，试求其中最远两点的距离的数学期望 .

十二 （本题满分9分）

    设有n台仪器. 已知用第 台仪器测量时，测定值总体的标准差为 .用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到 . 设仪器都没有系统误差，即 ，问 应取何值，方能在使用 估计 时， 无偏，并且 最小？