一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）设 , 且 ,则         .

（2）直线L: 与平面 的夹角 =               .

 (3)  无穷级数 =                             .

 (4) 设A是正负惯性指数均为1的三阶实对称矩阵,且满足 , 则行列式 =                           .

 (5) 已知随机事件A、B、C满足P(A)=0.4, P(B)=0.5，P(C)=0.5,且A,B独立，A,C互不相容，则概率P(A-C =                      .

(6) 在总体N(1,4)中抽取一容量为5的简单随机样本 ，则概率

                             .

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

  （1）设f(x)、g(x)都是可导函数，且 ，则当x>a时，有

(A)          (B)

(C)     (D)    [     ]

（2）设正项级数 收敛，则级数

(A) 条件收敛.   (B)  绝对收敛.

(C)  发散.      (D)  敛散性不能确定.                              [      ]

   (3)  设L: , , 则

(A) .     (B) .

(C) .     (D) .      [      ]

(4)  已知A、B为三阶矩阵，且有相同的特征值0，2，2，则下列命题：①A,B等价；② A,B相似；③ 若A,B为实对称矩阵，则A,B合同；④ 行列式 ,成立的有

(A) 1个     (B) 2个.   (C)  3个.    (D)  4个.                    [       ]

（5） 设随机变量 相互独立且均服从正态分布 ，若概率 ，则

(A) .         (B) .

(C) .        (D) .                 [       ]

(6) 设X为随机变量，若矩阵A= 的特征值全为实数的概率为0.5，则

(A) X服从区间[0，2]的均匀分布.      (B) 服从二项分布B(2, 0.5).

(C) X服从参数为1的指数分布.       (D) X服从正态分布 .    [       ]

三、（本题满分8分）

设 存在，且 ，记 ，求 在x=1某个邻域内的导数，并讨论 在x=1处的连续性 .

四、（本题满分12分）

      设函数 满足 , 且极限 ，试求函数f的表达式.

   .

五、（本题满分12分）

设曲面 是锥面 与两球面 , 所围立体表面的外侧,计算曲面积分

其中f(u)是连续可微的奇函数.

六、（本题满分12分）

设 证明： 有

（1）           f(x)+f(1-x)+lnx·ln(1-x)=C  (常数)

（2）           C = f(1)=

七、（本题满分12分）

设微分方程  （1）证明：若 1+P(x)+Q(x)=0 ,则方程有一特解 ；若 P(x)+xQ(x)=0，则方程有一特解 y=x.

(2) 根据上面的结论，求 的通解和满足初始条件 的特解.

（3）求 满足初始条件 的特解.

八、（本题满分10分）

设f(x)在[0，2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数，且 ， ，求证： ，使

九、（本题满分8分）

   设 与 是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解(A是 矩阵)， 是对应的齐次线性方程组Ax=0的非零解，证明：

（1）       向量组 线性无关；

（2）       若秩r(A)=n-1，则向量组 线性相关.

十（本题满分10分）

已知A、B为4阶矩阵，若满足AB+2B=0, r(B)=2,且行列式 ，（1）求A的特征值；（2）证明A可对角化；（3）计算行列式 .

十一（本题满分9分）

设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度函数为

证明：X与Y不独立，但 与 独立.

十二（本题满分9分）

设总体X服从[0，θ]上的均匀分布，θ未知（θ>0）, 是取自X的一个样本

（1）         试证： ,  都是θ的无偏估计

（2）       上述两个估计中哪个方差最小？